Apendice De Conjuntos

Apendice De Conjuntos

Apéndice. Conjuntos.

La definición de conjunto es uno de conceptos que mejor caracterizan el pensamiento matemático, otros conceptos como punto, número, función también son buenos ejemplos de las ideas matemáticas.

Para establecer la defenición de conjunto un maestro le pregunta a sus alumnos que digan lo que entienden por conjunto, el primero dice: un grupo, el segundo: una unión, el tercero: una reunión, otro más: una colección, y así sucesivamente cada uno va dando una idea similar y al final la idea de conjumnto debe entenderse por sí misma.

En las matemáticas como en cualquier otra rama del conocimiento se debe de empezar con algunos conceptos para que a partir de ellos se construya lo demás. Estos conceptos primeros se llaman Conceptos Primarios y las estructuras matemáticas se construyen tomándolos como base. Por ejemplo en geometría se pueden tomar como conceptos primarios: punto, recta y plano.

Una estructura matemática además de conceptos primarios, tiene axiomas, definiciones y teoremas. Los axiomas son las propiedades que se aceptan para construir la teoría, las definiciones son nombres para los conceptos nuevos que van apareciendo y los teoremas son propiedades que deben justificadas en base a los axiomas, utilizando propiedades que ya hayan sigo comprobadas. Por supuesto que también se necesita un procedimiento para hacer demostraciones, en este caso podemos usar la lógica.

Un conjunto es una colección arbitraria de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos y se acepta que hay una relación de pertenencia entre elementos y conjuntos. También se acepta un conjunto universo previamente definido donde se encuentran todos los elementos necesarios para un estudio determinado.

La relación de pertenencia ∈ cumple la condición de que dado un elemento x del universo y un conjunto cualquiera A, x pretenece a A es una proposición lógica o sea que siempre es veradera o falsa, cuando es verdadera se representa: x ∈ A, cuando es falsa se utiliza x ∉ A.

Represantación de un conjunto:

Una forma usual de representar conjuntos es con los elementos separaods por comas entre llaves. Por ejemplo: A = {1,2,3,4,5}. Es costumbre representar a los conjuntos utilizando mayúsculas y minísculas para los elementos, pero la representación es arbitraria por lo que se puede utilizar otra forma, por ejemplo en computación es común representar un conjunto con una o más palabras.

Si son muchos elementos se puede indicar:

DIGITOS = {0,1,2,…,9}, PLANETAS = {Mercurio, Venus, … , Plutón}

o si es un conjunto infinito NATURALES = {0,1,2,…}

También se puede utilizar la relación de pertenencia escribiendo una expresión booleana; o sea, una proposición lógica. PLANETAS = x , la líenas | se lee tal que.

El conjunto Universo se represeta por U, por S o por D. La S se utiliza por la palabra space y es muy comun utilizarla en Porbabilidad, la D es por dominio y se puede utilizar en lógica y en computación. Pero la representación es arbitraria y se puede ajustar según el uso y los requerimientos. Lo importante es que el conjunto universo, espacio o domio (como le queramos llamar) consta de todos los elementos con los que vamos a trabajar en un problema o situación especifica.

Un conunto muy importante es el conjunto vacío que se representa por Φ o por { }.

Operaciones con conjuntos

Unión La unión de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos que estén en cualesquiera de los dos conjuntos; o sea, los que están en el primer conjunto o el segundo conjunto
A ∪ B = x &isin U

Intersección La intersección de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos comunes; o sea, los que están en el primer conjunto y el segundo conjunto
A ∩ B = x &isin U

Diferencia La diferencia de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos del primer conjunto quitando los comunes; o sea, los que están en el primer conjunto y no estén en el segundo conjunto

A - B = x &isin U

Diferencia simétrica La diferencia de dos conjuntos consta de todos los elementos que estén en los dos conjuntos quitando los comunes; o sea, los que están en el primer conjunto y no estén en el segundo conjunto o que están en el segundo y no están en el primero.

A Δ B = x &isin U

Faltan propiedades y diagramas de Venn-Euler.


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