Analisis Circuitos Aplicando Transformada De Laplace

Analisis Circuitos Aplicando Transformada De Laplace

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1 OBJETIVO

Presentar uno de los métodos más efectivos para resolver sistemas de ecuaciones integro-diferenciales simultáneas de coeficientes constantes que describen completamente el comportamiento de circuitos lineales e invariantes con el tiempo. El método posee las siguientes ventajas:

Reduce el problema a la solución de ecuaciones algebraicas lineales. Se aplica tanto a circuitos propios como impropios. Introduce el estado energético inicial en t = 0 - desde el principio y, por tanto:

No require la determinación del estado energético inicial en t = 0 + para circuitos impropios. No es necesario evaluar el valor de la respuesta y de sus derivadas temporales de orden superior en t = 0 + ni con- stantes arbitrarias. Permite encontrar en una sola operación la solución total (es decir, la particular y la función complementaria). 4.2 DEFINICION La transformación de Laplace asocia a una función real del tiempo f(t) definida en el intervalo [0, ∞] otra función F(s) de acuerdo a la ecuación (4–1) donde la variable s en (4–1) se denomina la frecuencia compleja. (4–1) es válida únicamente para valores de s (puntos del plano complejo) para los que la integral sea finita, cuyo lugar geométrico se conoce con el nombre de REGION DE CONVERGENCIA. Reemplazando (4–1b) en (4–1a) se obtiene:

(4–2) La integral (4–2) puede considerarse como el límite de una suma de números complejos (vectores con diferentes orientaciones). La magnitud de la resultante es menor o igual a la suma de las magnitudes de cada uno de los vectores componentes de la suma ya que esto es equivalente a sumar vectores con la misma orientación y sobre el mismo eje. Se puede expresar este hecho matemáticamente de la siguiente manera: (4–3) donde en la segunda integral

  • e

-jwt

= 1.0 garantiza que la suma se está efectuando sobre el mismo eje y

  • f(t)* que todos los vectores tienen el mismo

sentido. Es evidente entonces que para que *F(s)* sea finito f(t) debe satisfacer dos condiciones suficientes (pero no necesarias). 1. Que cada uno de los “vectores” componentes en la segunda integral en (4–3) sean finitos (función acotada), es decir, deben existir dos números M y O o tales que (4–4) 2 Que la sumatoria sea finita, es decir,

(4–5) Nótese que (4–5) se cumple siempre y cuando F = Re(s) > O o . Por esta razón O o se conoce con el nombre de abcisa de convergencia de F(s). Debido a que la mayoría de las funciones que se consideran en el análisis y diseño de redes eléctricas satisfacen (4–4) y (4–5) se supone en lo sucesivo que ellas son transformables. Aunque pueda parecer a primera vista que la integral (4–1) es difícil de evaluar, realmente no lo es. Además, para la mayoría de funciones de interés se conocen sus transformadas de Laplace, las cuales se encuentran tabuladas y no es necesario evaluarlas cada vez que se presenten, por lo que (4–1) se utiliza muy poco en la práctica. 4.3 PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Si f(t) = 0 t < 0 y es transformable, es decir, satisface (4–4) y (4–5) se pueden obtener algunos resultados útiles que se derivan de la definición (4–1) integrando por partes cuando sea necesario. LINEALIDAD Si a y ß son constantes escalares:

(4–6) TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Nótese que (4–7) es válida únicamente si (4–7) (4–8) lo cual es consecuencia de la regla de L’Hospital siempre y cuando f(t) y sus derivadas sucesivas sean finitas en t = 8 y Re(s) > 0. - - 114 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Generalizando donde f (k) (0 ) denota la k-ésima derivada de f(t) evaluada en t = 0 (4–9) TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL MULTIPLICACIÓN POR TIEMPO Generalizando: (4–10) (4–11) CAMBIO DE ESCALA Si “ es una constante real positiva (4–12) TRASLACIÓN COMPLEJA Si “ es una constante TRASLACION REAL (4–13) (4–15) donde la función escalón unitario u(t) se define así: (4–14) TEOREMA DEL VALOR INICIAL siempre y cuando existan ambos miembros de (4–16) TEOREMA DEL VALOR FINAL (4–16) Si s.F(s) no tiene polos en el eje imaginario ni en el semiplano complejo de la derecha: (4–17) TRANSFORMADA DE UNA FUNCION PERIODICA Sea f(t) una función periódica definida por la ecuación (4–18) Si se define (4–19) (4–18) se puede expresar también de la siguiente manera: FIGURA 4.1 Representación gráfica de (4–20) (4–20) La figura 4.1 es una representación gráfica de la ecuación (4–20). De (4–1), (4–6), (4–15) y (4–20) se sigue que: Es decir, (4–21)


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