Algoritmos Numericos

Algoritmos Numericos

Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea y/o resolver un problema. De un modo más formal, un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas, cuya ejecución da una solución de un problema en un tiempo finito.

El término algoritmo no está exclusivamente relacionado con la matemática, ciencias de la computación o informática. En realidad, en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas.

Algunos ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones), pero no la preparación de una comida (porque no están perfectamente definidos los pasos).

También existen ejemplos de índole matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o incluso el método de Gauss para resolver Sistema lineal de ecuaciones.

Un algoritmo numérico es el conjunto de instrucciones ordenadas para resolver un problema que involucra procesos matemáticos (con calculo de formulas de manera repetida).

Este tipo de algoritmos no admiten ambigüedades y debe darse cada uno de los pasos para su solución.

Se define el concepto de algoritmo numérico. Se presentan varios casos de problemas numéricos, se dan sus soluciones en forma algorítmica y se agrega en cada caso una representación en forma de diagrama de flujo.

La noción de algoritmo aparece en numerosas y disímiles situaciones de la vida cotidiana y es manejada por una gran cantidad de personas, algunas de las cuales ni tan siquiera conocen su existencia. De manera informal, un algoritmo puede definirse como una lista de instrucciones mediante las cuales puede llevarse a cabo un determinado proceso.

Los métodos numéricos permiten resolver problemas obteniendo aproximaciones para las soluciones mediante algoritmos iterativos. Estos algoritmos reciben el nombre de algoritmos numéricos.

Las aproximaciones resultan de mucha utilidad cuando las soluciones analíticas o algebraicas resultan muy difíciles o hasta imposibles de obtener empleando métodos tradicionales. Los computadores ayudan en gran manera, al facilitar la programación de los algoritmos basados en iteración. En esta sección se presentan ejemplos de estos métodos. 1.1 Ejemplo: Cálculo de e mediante serie infinita Programa que calcula el valor de la constante e, base de los logaritmos neperianos. Se hace una aproximación empleando la siguiente serie infinita: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … El cálculo se detiene cuando el valor acumulado de e, no se logra diferenciar (por la precisión del computador), del valor calculado en la iteración anterior. Es decir, cuando el siguiente término a sumar es tan pequeño que el computador lo considera como un cero. El factorial, representado por ! en la serie, se implementa en el programa mediante una función. Una vez que se calcula la aproximación, el programa despliega el valor encontrado, así como el número de iteraciones que se emplearon para obtenerlo, es decir, la cantidad de términos de la serie que fue necesario sumar para llegar a la aproximación.

/***************************************************************************

    * Ejemplo: Calculo de la constante e mediante una serie infinita

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              o / 

using System;

/***************************************************************************

    * Función que calcula el factorial de su argumento. Tanto el argumento de
    * entrada (x) como el valor de retorno son de tipo double. No se hacen
    * controles sobre la validez del argumento, cuyo valor debe ser > 0.
    * Cualquier valor de entrada 0 o negativo arrojara un resultado de 1.
    * Formula del factorial: x! = 1 * 2 * 3 * … * (x-1) * x 

public class C Calculate E
{
public double iter;
public C Calculate E() { iter = 1; }
private double mFactorial(double x)
{
double i; // Factor actual de multiplicación: 2, 3, …, x
double fact = 1.0; // Acumulador para el resultado, inicialmente 1
// Ciclo en el que se calcula el factorial: i variara de 2 a x
for (i=2.0; i<=x; i++)
// Se multiplica el acumulado actual por el factor actual (i)
fact = fact * i;
// Devuelve como valor de retorno el resultado acumulado
return(fact);
}
public double mGetE()
{
double e = 1,
eanterior;
do{
eanterior = e;
e += 1/mFactorial(iter);
iter++;
}while( e != eanterior);
return e;
}
}
/***************************************************************************
* Programa que calcula el valor de la constante e, base de los logaritmos
* neperianos. Se emplea una aproximación de la siguiente serie infinita:
* e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …
* El cálculo se detiene cuando el valor acumulado de e, no se logra
* diferenciar (por la precisión del computador), del valor calculado
* en la iteración anterior.
***************************************************************************/
public class C Main?
{
public static void Main()
{
C Calculate E ce = new C Calculate E();
Console.Write Line?(“El valor de E es: {0}”,ce.mGetE());
Console.Write Line?(“Se emplearon {0} iteraciones.”,ce.iter);

Ejemplo de ejecución:
Valor de e:
2.718281828459045534884808148490265011787000000000
Se emplearon 19 iteraciones

Ejemplo: Cálculo de e a la x, mediante serie, comparando con función exp()
Programa que calcula e**x (e elevado a la x), haciendo una aproximación mediante una serie infinita. Se
siguen sumando términos mientras la diferencia entre el valor aproximado y el valor devuelto por la
función exp() de la biblioteca math de C, sea mayor que una precisión dada por el usuario. La serie
empleada es:
Serie empleada: e**x = 1 + (x**1 / 1!) + (x**2 / 2!) + (x**3 / 3!) + …
El factorial, representado por !, y el operador de potencia, representado por **, se implementan en el
programa mediante funciones.
Una vez obtenida la aproximación, el programa despliega el valor calculado, y el número de iteraciones
que se emplearon para llegar a él, es decir, el número de términos que fue necesario sumar.
/***************************************************************************
* Ejemplo: Calculo de e**x (e elevado a la x), empleando serie infinita *
***************************************************************************
using System;
public class C Eelevado X?
{
public double iter;
public double res;
public double exacto;
public double precision;
// Constructor de la clase C Eelevado X?
public C Eelevado X?(double pres)
{
precision = pres;
iter = 1;
res = 1;
}
// Miembro privado ya que solo se usa dentro de la clase
private double mFactorial(double x)
{
double i;
double fact = 1;
for (i=2.0; i<=x; i++) fact = fact * i;
return(fact);
}
// Miembro privado ya que solo se usa dentro de la clase
private double mPotencia(double x, double n)
{
double i;
double pot;
pot = x;
for (i=2; i<=n; i++) pot = pot * x;
return(pot);
}
// Miembro público ya que se llama desde afuera de la clase para calcular e**x
public double mGetEX(double power)
{
exacto = Math.Exp(power);
do {
res += mPotencia(power,iter)/mFactorial(iter);
iter++;
} while((exacto - res) >= precision);
return res;
}
}
public class C Main?
{
public static void Main()
{
double pres,x;
Console.Write(“Ingrese la potencia: “);
x = Double.Parse(Console.Read Line?());
Console.Write(“Ingrese la precisión: “);
pres = Double.Parse(Console.Read Line?());
// Nueva instancia de la clase C Eelevado X?
C Eelevado X? ex = new C Eelevado X?(pres);
ex.mGetEX(x);
Console.Write Line?(“El valor de e^x de System.Math es: {0}”,ex.exacto);
Console.Write Line?(“El valor de e^x con {0} iteraciones y precisión de {1} es: {2}”,
ex.iter,ex.precision,ex.res);
}
}

Ejemplo de ejecución:
Ingrese el valor de x: 5
Ingrese la precision para el calculo de e(x): 0.01
Valor exp(x) de <math.h>: 148.413159102576600000000000000000000000000000000000
Calculo de e(x) con precision 1.000000e-002:
148.410210275043060000000000000000000000000000000000
Se emplearon 17 iteraciones
Ingrese el valor de x: 5
Ingrese la precision para el calculo de e(x): 0.000001
Valor exp(x) de <math.h>: 148.413159102576600000000000000000000000000000000000
Calculo de e(x) con precision 1.000000e-006:
148.413158521647740000000000000000000000000000000000
Se emplearon 23 iteraciones

Ejemplo: Cálculo de a elevado a la x (a**x), mediante series, con la máxima
precisión posible
Programa que calcula a**x (a elevado a la x), haciendo una aproximación mediante una serie, con la
máxima precisión que el lenguaje C puede calcular, esto es, hasta que los resultados alcanzados por la
serie converjan en un mismo valor. Se siguen calculando términos de la serie mientras no exista
diferencia entre un valor aproximado y el siguiente valor aproximado. La serie empleada es:
a**x = 1+x*logE(a)+((x*logE(a))**2)/2!+((x*logE(a))**3)/3! + …
Elevar un número a una potencia, es representado en el texto por ** (lo cual no es una sintaxis válida en
C#).
Una vez obtenida la aproximación, el programa despliega el valor calculado.
// Cálculo de a elevado a la x (a**x) con la máxima precisión posible en C#.
// los valores de a y x deben ser mayores que cero
// se sabe que a**x = 1 + x * logE(a) + ((x * logE(a))**2)/2! + ((x * logE(a))**3)/3! + …
// y que logE(x) = 2 [(x-1)/(x+1) + 1/3((x-1)/(x+1))**3 + 1/5((x-1)(x+1))**5 - …
//
// Recuerde que: (a**n) = a * (a**(n-1))
using System;
public class CA Elevado X?
{
private double mLogE(double x)
{
double basem,bas,res,resa,rep;
bas = (x-1.0)/(x+1.0);
basem = bas;
res = bas;
rep = 3.0;
do
{ resa = res;
basem = basem * bas * bas;
res = res + (1/rep)*basem;
rep += 2.0;
} while (res != resa);
return(2*res);
}
Intro. Prog. Orientada a Objeto – Algoritmos Numéricos Rodrigo Sandoval U.
private double mFactorial(int x)
{
int i;
double fact = 1;
for (i=2; i<=x; i++) fact = fact * i;
return fact;
}
public double mPower(double a, double x)
{
double res,resa,bas,basem;
int rep;
bas = x * mLogE(a);
basem = bas;
rep = 2;
res = bas;
do
{
resa = res;
basem = basem * bas;
res += ( basem / mFactorial(rep) );
rep++;
} while (res != resa);
return(1+res);
}
}
public class C Main?
{
public static void Main()
{
double a,x;
Console.Write(“Ingrese la base: “);
a = Double.Parse(Console.Read Line?());
Console.Write(“Ingrese la Potencia: “);
x = Double.Parse(Console.Read Line?());
CA Elevado X? ax = new CA Elevado X?();
Console.Write Line?(“La respuesta es: {0}”,ax.mPower(a,x));
}
}

Ejemplo de ejecución:

Introducir valores: 2 3

valores de a: 2.00000 y x: 3.00000

resultado 8.00000

Algoritmos numéricos paralelos. Diseño, estudio y evaluación

Una de las áreas de mayor importancia en el contexto de la computación paralela, y donde se está dedicando un gran esfuerzo al desarrollo de algoritmos numéricos eficientes, la constituye el álgebra lineal numérica. La introducción del paralelismo en el área ha influido notablemente en el desarrollo de algoritmos y programas. El grupo trabaja en la obtención de algoritmos eficientes motivados por el uso de máquinas paralelas para dos problemas concretos:

Algoritmos paralelos para sistemas lineales. El estudio se centra en la elaboración de librerías portables que incluyen algoritmos eficientes para la resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales diseñados previamente por el grupo y evaluados tanto desde el punto de vista teórico como experimental.

Algoritmos paralelos para sistemas no lineales.Aunque los sistemas no lineales aparecen en muchos problemas científicos y de ingeniería que provienen de la discretización de ecuaciones diferenciales como por ejemplo, el cálculo de trayectorias o el estudio de sistemas oscilatorios, es un problema poco estudiado desde el punto de vista paralelo. El grupo está diseñando y evaluando algoritmos paralelos eficientes que permitan resolver este tipo de sistemas aplicándolos a los problemas citados.

Aqui se ven algunos de los algoritmos mas utiles para procesamiento de secuencias de números. Actualmente existen muchos más.

Lista de algoritmos de conjuntos

accumulate() Función template <class Input Iterator?, class T> T accumulate(Input Iterator? first, Input Iterator? last, T init) {

  for ( ; first != last; ++first)
    init = init + *first;
  return init;

}

template <class Input Iterator?, class T, class Binary Operation?> T accumulate(Input Iterator? first, Input Iterator? last, T init,

             Binary Operation? binary_op) 

{

  for ( ; first != last; ++first)
    init = binary_op(init, *first);
  return init;

}

Descripción accumulate() incrementa el valor de init utilizando el operator+(). La version que recibe una función como argumento aplica en cada iteracion una operacion binaria a init y un elemento de la secuencia y lo asigna a init.

inner_product() Función template <class Input Iterator 1?, class Input Iterator 2?, class T> T inner_product(Input Iterator 1? first1, Input Iterator 1? last1,

                Input Iterator 2? first2, T init)
 {
  for ( ; first1 != last1; ++first1, ++first2)
    init = init + (*first1 * *first2);
  return init;

}

template <class Input Iterator 1?, class Input Iterator 2?, class T,

          class Binary Operation 1?, class Binary Operation 2?>

T inner_product(Input Iterator 1? first1, Input Iterator 1? last1,

                Input Iterator 2? first2, T init, Binary Operation 1? binary_op1,
                Binary Operation 2? binary_op2) 

{

  for ( ; first1 != last1; ++first1, ++first2)
    init = binary_op1(init, binary_op2(*first1, *first2));
  return init;

}

Descripción inner_product() calcula el pruducto vectorial de dos secuencias, es decir las multiplica componente a componente y va acumulando los resultados.

partial_sum() Función template <class Input Iterator?, class Output Iterator?> Output Iterator? partial_sum(Input Iterator? first, Input Iterator? last,

                           Output Iterator? result)

template <class Input Iterator?, class Output Iterator?, class Binary Operation?> Output Iterator? partial_sum(Input Iterator? first, Input Iterator? last,

                           Output Iterator? result, Binary Operation? binary_op)

Descripción partial_sum() suma a cada elemento de una secuencia la suma de los valores anteriores. Podemos cambia la operacion de suma utilizando la version que permite pasarle un objeto función.

adjacent_difference() Función & template <class Input Iterator?, class Output Iterator?> Output Iterator? adjacent_difference(Input Iterator? first, Input Iterator? last,

                                   Output Iterator? result)

template <class Input Iterator?, class Output Iterator?, class Binary Operation?> Output Iterator? adjacent_difference(Input Iterator? first, Input Iterator? last,

                                   Output Iterator? result,
                                   Binary Operation? binary_op)

Descripción adjacent_difference() crea una secuencia de salida que consiste en la diferencia existente entre cada par de elementos adjacentes. Podemos utilizar otra funcion diferente a las resta mediante la versió nque permite utilizar un objeto función.


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