23 Tablas De Verdad

23 Tablas De Verdad

Tabla de verdad

La Tabla de valores de verdad es una herramienta javascript:insMarkup(‘\n----\n’,,); [Horizontal rule] desarrollada por Charles Peirce en los años 1880, siendo sin embargo más popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarrolló en su Tractatus lógico-philosophicus, publicado en 1918 por Bertrand Russell.

ación “$” como variable de cualquier relación sintáctica posible que defina una función de verdad, podrían suceder los casos siguientes:

NOTA: Las proposiciones A, B, C,…. mayúsculas simbolizan cualquier proposición, atómica o molecular, por lo que propiamente son expresiones metalingüísticas respecto al lenguaje objeto de la lógica preposicional, generalmente simbolizadas con minúsculas p, q, r, s……

De esta forma podemos conocer mecánicamente, es decir mediante algoritmo, el valor de verdad de cualquier conexión lógica, siempre y cuando previamente la hayamos definido como función de verdad.

Se hace necesario definir todas las relaciones establecidas por las conexiones en valores de verdad. En el cálculo de deducción natural suelen definirse las siguientes funciones de verdad:

¬ (también NOT, ¯) = Negación. «No»
(También &, AND) = Definida en la columna 8, como «y» conjunción, producto.
(También OR) = Definida en la columna 2 como «o» incluyente («… o…»), disyunción, suma.
→ = Definida en la columna 5, como «si…entonces…», condicional, implicación.
= Definida en la columna 7 como «… si y sólo si…», bicondicional’, coimplicador o equivalencia.

Se pueden definir otras, como se hace en la lógica de circuitos, siempre y cuando se le encuentre un sentido lógico pertinente. Por eso hay diversos sistemas de cálculo según las funciones definidas.

Por otro lado algunas funciones pueden definirse como combinación de otras. Por ejemplo la función A → B es equivalente a la función combinada ¬(A /\¬ B), como puede comprobarse haciendo la tabla de verdad. Este tipo de equivalencias son muy útiles para el establecimiento de reglas para el cálculo deductivo, pues al ser equivalencias suponen una tautología, como ley lógica.

Desgraciadamente, como vemos en las definiciones, hay diversas formas de simbolización gráfica de las funciones, si bien eso no es obstáculo para su definición.

Funciones de verdad

Negación (¬)
Representa lo contrario, no es cierto que

p ¬p
VF
FV

Ejemplo. Encuentre la negación de las expresiones siguientes:

i) Júpiter es un planeta
ii) El pizarrón es verde
iii) El número real x es negativo

Solución:

‘’i) Júpiter no es un planeta
ii) El pizarrón no es verde
iii) El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó cero
‘’

Disyunción (∨)
La proposición será verdadera cuando una o ambas variables preposicionales sean verdaderas, p ó q

pqp ∨ q
VVV
VFV
FVV
FFF

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdaera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.

Ejemplo:

El libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.

Conjunción (^)
Es una conectiva que puede definirse como la composición:
p ∧ q = ¬ (¬p ∨ ¬q)
De las proposiciones p, q; es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:

pqp^q
VVV
VFF
FVF
FFF

Ejemplo:

La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos

p ^ q, donde

p: la función es creciente q: la función esta definida para los números positivos Así también: p ^ q, donde

p: el número es divisible por 3 q: el número está representado en base 2

Se lee de la siguiente manera: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.

Condicional (→)
Es una conectiva definida por:
p → q = ¬p ∨ q
La proposición molecular será verdadera cuando se cumpla si es verdadero p entonces lo es q.

pqp→q
VVV
VFF
FVV
FFV

Ejemplo:

Si p es llueve y q es hay nubes entonces:

p → q es si llueve entonces hay nubes.

Bicondicional (↔)
Es una conectiva definida por:
p ↔ q = ((p → q) (q → p))
La proposición será verdadera cuando ambas variables preposicionales tengan a la vez el mismo valor de verdad; p si y sólo si q.

pqp ↔ q
VVV
VFF
FVF
FFV

Contrucción de Tablas de Verdad


Como ya sabemos la sintaxis en lógica es la forma correcta de escribir una fórmula y la semántica es lo que significa. Como en lógica solamente tenemos dos valores una fórmula solamente puede ser verdadera o falsa. Para determinar su valor seguimos las reglas simples que dimos en las definiciones básicas de acuerdo a su tabla de verdad. Esto lo hacemos mediante interpretaciones. Una interpretación de una fórmula es un conjunto de valores que se les asignan a sus proposiciones atómicas.

Al interpretar una fórmula lo que finalmente vamos a obtener es un valor de verdad, bien sea verdadero o falso. Pero para poder encontrarlo muchas veces el proceso en laborioso porque puede estar formada por varias proposiciones atómicas. Primeramente se le asignan valores de verdad a los átomos y se puede encontrar el valor de la expresión.

Si deseamos hacerlo en general, debemos analizar todas las posibilidades, esto se puede hacer construyendo una tabla de verdad. Para fines prácticos cuando se tienen varios átomos las tablas de verdad no resultan prácticas por lo que analizaremos solamente expresiones con tres átomos como máximo.

Por supuesto que se puede construir una tabla para un número mayor de átomos, pero notemos que por cada átomo que se aumente el número de renglones se duplica. Esto es, para un átomos son dos renglones, para dos átomos son cuatro, para tres átomos son ocho, para cuatro dieciséis, etc.

Algoritmo para construir una tabla de verdad de una fórmula en lógica de proposiciones.

1. Escribir la fórmula con un número arriba de cada operador que indique su jerarquía. Se escriben los enteros positivos en orden, donde el número 1 corresponde al operador de mayor jerarquía. Cuando dos operadores tengan la misma jerarquía, se le asigna el número menor al de la izquierda.

2. Construir el árbol sintáctico empezando con la fórmula en la raíz y utilizando en cada caso el operador de menor jerarquía. O sea, del número mayor al menor.

3. Numerar las ramas del árbol en forma secuencial empezando por las hojas hacia la raíz, con la única condición de que una rama se puede numerar hasta que estén numerados los hijos. Para empezar con la numeración de las hojas es buena idea hacerlo en orden alfabético, así todos obtienen los renglones de la tabla en el mismo orden para poder comparar resultados.

4. Escribir los encabezados de la tabla las fórmulas siguiendo la numeración que se le dió a las ramas en el árbol sintáctico.

5. Asignarle a los átomos, las hojas del árbol, todos los posibles valores de verdad de acuerdo al orden establecido. Por supuesto que el orden es arbitrario, pero como el número de permutaciones es n!, conviene establecer un orden para poder comparar resultados fácilmente.

6. Asignar valor de verdad a cada una de las columnas restantes de acuerdo al operador indicado en el árbol sintáctico utilizando la tabla de verdad correspondiente de Conexiones Logicas y Jerarquias. Conviene aprenderse de memoria las tablas de los operadores, al principio pueden tener un resumen con todas las tablas mientras se memorizan.

7. La última columna, correspondiente a la fórmula original, es la que indica los valores de verdad posibles de la fórmula para cada caso.

Ejemplo:

Realizar la tabla de verdad de la siguiente fórmula: (p → ¬q) v (¬p v r)

Solución:

i) Seguimos los pasos del algoritmo con la fórmula (p → ¬q) v (¬p v r)

1. Vemos que los operadores de los paréntesis tienen mayor jerarquía, empezamos por el paréntesis izquierdo por lo que la fórmula con jerarquías marcadas sería:



2. Contruir el arbol Sintáctico empezando a descomponer por el operador con el número mayor, seguir en orden descendiente hasta el último que es el que tiene el número 1.



3. Numerar las ramas del árbol



4. Escribir los encabezados de la tabla utilizando las fórmulas en el árbol siguiendo la numeración del paso 3.

5. Asignar valores de verdad a los átomos, en este caso, las tres primeras columas.

6. Completar el resto de las columnas utilizando las definiciones de los operadores.

12345678
pqr¬ q¬ pp → ¬q¬p v r(p → ¬q) v (¬p v r)
VVVFFFVV
VVFFFFFF
VFVVFVVV
VFFVFVFV
FVVFVVVV
FVFFVVVV
FFVVVVVV
FFFVVVVV

7. La última columna es el resultado da cada interpretación establecida en los primeros tres renglones.



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